Вы читаете
Математические бильярды, часть 1

Математические бильярды, часть 1

Алина Колганова
Математические бильярды, часть 1

Ты – с нами. Ты – на ПМиИТе. А это значит, что тебе, как минимум, нравится математика, а возможно, ты даже принимал участие (и одерживал победы, конечно же!) в различных олимпиадах по тематике царицы наук.

Наверняка тебе знакома формулировка: имея сосуды 3 л и 5 л, получить 4 л воды. Звучит просто? Возможно… Знаешь алгоритм решения? Здорово! А сегодня мы поделимся с тобой необычным способом решения данной задачи. В этом нам помогут малоизвестные математические бильярды. Бери тетрадь, ручку и присаживайся поудобнее…

Математический бильярдный стол – это параллелограмм с углами 60° и 120°, стороны которого равны объёмам сосудов (в нашем случае 3 и 5). По сути, мы имеем область I (верхнего правого) угла координатной плоскости, скошенного вправо. Область ограничена скошенными прямыми x = 5, y = 3. Весь стол расчерчен параллельными прямыми на равносторонние треугольники.

Главным действующим лицом является бильярдный шар. Он двигается по следующим правилам:

  • Может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме.
  • После удара о стороны отражается и продолжает движение вдоль линии сетки, выходящей из точки борта, где произошло соударение. Выйти из этой точки шарик может только под углом 60°!

При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.

Итак, вернемся к нашей задаче.

Что имеем?

Стороны параллелограмма 3 и 5 единиц, прямые параллельные линии, расчерчивающие нашу плоскость, и шарик (рис.1). В бой!

Математические бильярды, часть 1
Рис.1

Решение

Будем следить за движением шарика и анализировать каждую точку его удара о борт стола. Начинаем в точке (0;0).

1) Точка удара (5; 0): полностью наполняем водой пятилитровый сосуд (рис.2).

Математические бильярды, часть 1
Рис.2

2) Точка удара (2; 3): переливаем 3 литра в маленький сосуд, 2 литра остается в большом (рис.3).

Математические бильярды, часть 1
Рис.3

3) Точка удара (2;0): полностью выливаем воду из маленького сосуда (рис.4).

Математические бильярды, часть 1
Рис.4

4) Точка удара (0;2): переливаем оставшиеся два литра воды в маленький сосуд.

5) Точка удара (5;2): снова до краёв наполняем пятилитровый сосуд водой.

6) Точка удара (4;3): доливаем воду из большого сосуда в маленький (ответ уже у нас в руках)

7) Доводим до идеала: точка удара (4;0). Бинго! Получили заветные 4 литра. 

Таким образом, уже за 6 шагов мы получили правильный ответ. На рис.5 представлен весь «путь».

Математические бильярды, часть 1
Рис.5

Примечателен тот факт, что «запускать» шар можно в любую сторону (т.е. можно начать с точки удара (0;3)), а значит, получить 4 литра в задаче можно двумя способами. Один мы разобрали, второй – оставили для тебя!

Для самых любознательных читателей мы подготовили несколько вопросов для размышления.

  1. Какое максимальное количество литров мы можем отмерить сосудами 3 л и 5 л?
  2. Можно ли получить 6, 7, 8 литров воды, используя сосуды 3 л и 5 л?
  3. Можно ли получить 5 литров воды, используя сосуды 6 л и 2 л?

Ответы опубликуем в следующей части статьи.

Надеемся, тебе понравился наш маленький туториал и ты с удовольствием решишь эту задачку вторым способом. Для более глубоко изучения данной темы рекомендуем к прочтению учебник «Математические бильярды» (авторы Гальперин Г.А., Земляков А.Н.).

Что вы об этом думаете?
Впечатлен
2
Задумался
5
Огорчен
0
Равнодушен
1
Комментарии (0)

Оставить комментарий

Ваш электронный адрес не будет опубликован.

© 2020 PressF Magazine.
All Rights Reserved.

Наверх